การจำลองสถานการณ์ COVID-19 ผ่านตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์

การระบาดของโรคโควิด (COVID-19) เป็นอีกหนึ่งวิกฤตการณ์โรคระบาดที่เป็นการแพร่ระบาดครั้งใหญ่ของโลก โดยมีจุดเริ่มต้นมาจากเมืองอู่ฮั่น ประเทศจีน โดยเริ่มจากช่วงปลายปี ค.ศ. 2019

โดยหลักการป้องกันการแพร่ระบาดหลัก ๆ คือ การลดการสัมผัสทางกายภาพของคนสู่คนให้ได้มากที่สุด เพื่อลดการแพร่กระจายของเชื้อ ไม่ว่าจะเป็นการทำงานที่บ้าน การกักตัวอยู่บ้าน การที่ผู้คนอยู่ห่างกันหลายเมตร การที่หลีกเลี่ยงชุมชนแออัด หรือสามารถเรียกได้อีกอย่างว่าการทำ Social distancing 

กราฟสองเส้นแสดงถึงแสดงจำนวนผู้ติดเชื้อที่ช่วงเวลาต่าง ๆ หลังจากมีผู้ติดเชื้อคนแรก โดยกราฟสีแดงคือเทรนด์จะเกิดขึ้นเมื่อไม่มีมาตรการป้องกันใดๆ ส่วนกราฟสีฟ้าคือเทรนด์ที่จะเกิดขึ้นเมื่อมีมาตรการป้องกัน

โดยบทความนี้จะอธิบายถึงโมเดลการจำลองสถานการณ์การแพร่ระบาดของไวรัสโคโรนาผ่าน SEIR model, อธิบายตัวแปรและปัจจัยต่าง ๆ ที่มีผลต่อการทำนาย รวมถึงแสดงผลการทำนายการแพร่ระบาดของไวรัสเปรียบเทียบ เมื่อมีการทำ social distancing และ ไม่มีมาตรการป้องกันใด ๆ

ค่าระดับการติดเชื้อ (Reproduction Number)

ค่าระดับการติดเชื้อ () คือค่าเฉลี่ยที่ผู้ป่วยหนึ่งคนนั้นจะสามารถให้ผู้คนกลุ่มเสี่ยงป่วยเป็นจำนวนกี่คนในช่วงเวลาที่ยังติดเชื้ออยู่ หรือสรุปง่ายๆ ก็คือเป็นค่าที่บ่งบอกว่าไวรัสมีความสามารถการแพร่ระบาดได้มากน้อยแค่ไหน โดยการกำหนดค่าระดับการติดเชื้อ () ถือเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาการแพร่ระบาดของไวรัส

โดยถ้า ค่าระดับการติดเชื้อ () < 1  จะหมายถึง

• โดยเฉลี่ยผู้ป่วยหนึ่งคน สามารถแพร่ไวรัสให้แก่ผู้คนในกลุ่มเสี่ยงได้ไม่เกินหนึ่งคน
• การที่ค่าระดับการติดเชื้อ () น้อยกว่า 1 นั้นหมายถึงว่าไวรัสชนิดนี้สามารถหยุดการแพร่ระบาดไว้ได้แล้ว

โดยถ้า ค่าระดับการติดเชื้อ () = 1  จะหมายถึง

• โดยเฉลี่ยผู้ป่วยหนึ่งคน สามารถแพร่ไวรัสให้แก่ผู้คนในกลุ่มเสี่ยงได้ประมาณหนึ่งคน
• การที่ค่าระดับการติดเชื้อ () เท่ากับ 1 นั้นหมายถึงว่าไวรัสชนิดนี้อยู่เข้าสภาวะสมดุลแล้ว (คือไม่มีการเพิ่มหรือลดในจำนวนผู้ติดเชื้อ)

โดยถ้า ค่าระดับการติดเชื้อ () > 1  จะหมายถึง

• โดยเฉลี่ยผู้ป่วยหนึ่งคน สามารถแพร่ไวรัสให้แก่ผู้คนในกลุ่มเสี่ยงได้มากกว่าหนึ่งคน
• การที่ค่าระดับการติดเชื้อ () มากกว่า 1 นั้นหมายถึงว่าไวรัสชนิดนี้ยังมีการแพร่ระบาดที่เพิ่มขึ้นอยู่

ในปัจจุบันนั้นค่าระดับการติดเชื้อ () ของโรคโควิด-19 นั้นอยู่ที่ประมาณ 2 – 3, โดยการกำหนดค่าระดับการติดเชื้อ () ที่ถูกต้องได้นั้นถือเป็นปัจจัยที่สำคัญที่สุดในการทำนายโรคระบาด การที่ไวรัสค่าระดับการติดเชื้อ () สูงนั้นเป็นปัจจัยที่ต้องคำนึงถึงเป็นอย่างมาก แต่ไม่ใช่เหตุที่ทำให้วิตกกังวลแต่อย่างใด

ค่าระดับการติดเชื้อ () นั้นเป็นค่าเฉลี่ยทำให้บางทีค่ามันดูสูงเกินกว่าปกติได้เนื่องจากหลายปัจจัย เช่นเหตุการณ์ที่เรียกว่า “Super-Spreader”  เป็นเหตุการณ์ที่ผู้ติดเชื้อได้แพร่เชื้อโรคไปสู่ผู้คนกลุ่มเสี่ยงได้เป็นจำนวนมากในคราวเดียว ส่งผลให้ค่าระดับการติดเชื้อ () นั้นสูงขึ้น

ดังนั้นค่าระดับการติดเชื้อ () สามารถแปรเปลี่ยนได้อยู่ตลอดเวลา และการติดตามผู้ป่วยทุกเคสนั้นเป็นไปได้ยาก ทำให้การประมาณค่าระดับการติดเชื้อ () นั้นซับซ้อน และเป็นไปได้ยากที่จะคาดคะเนได้อย่างถูกต้อง เพราะค่าระดับการติดเชื้อ () จะเปลี่ยนไป เมื่อมีข้อมูลชุดใหม่เข้ามา

เราจะนำโมเดลทางคณิตศาสตร์มาจำลองสถานการณ์การแพร่ระบาดได้อย่างไร

การจำลองสถานการณ์เกี่ยวกับไวรัสผ่านโมเดลทางคณิตศาสตร์ที่จะนำมาใช้นั้นจะเป็นการจำลองการแพร่กระจายในระดับประชากรผ่านสมมติฐาน โดยจะใช้ SEIR model (Susceptible, Exposed, Infectious, Recovered) โดยโมเดลจะแบ่งประชากรออกเป็น 4 ประเภท ได้แก่

1. กลุ่มเสี่ยงที่มีโอกาศติดเชื้อได้ (Susceptible)
2. กลุ่มที่ติดเชื้อที่อยู่ในระยะฟักตัว (Exposed) คือผู้ที่ติดเชื้อแล้ว แต่ยังไม่อยู่ในระยะที่สามารถแพร่เชื้อได้
3. กลุ่มที่ติดเชื้อที่สามารถแพร่เชื้อได้ (Infectious)
4. กลุ่มที่หายจากการติดเชื้อแล้ว และไม่มีโอกาสเป็นซ้ำ รวมถึงไม่สามารถแพร่เชื้อไปยังผู้อื่นได้ (Recovered)

โดย SEIR model นั้น ประชากรแต่ละประเภทนั้นจะมีการเปลี่ยนสถานะอยู่ตลอดเวลา ขึ้นอยู่กับการกำหนดสมมติฐาน, ปัจจัย และอัตราในการเพิ่ม หรือลด ของประชากรแต่ละประเภท โดยสามารถแสดงออกมาเป็นแผนภูมิเบื้องต้นได้ดังภาพด้านล่าง

หลังจากมีการกำหนดสมมติฐาน  รวมถึงปัจจัยเพิ่มลดของประชากรแต่ละประเภทผ่านสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary Differential Equations) และจำนวนประชากรแต่ละประเภทในระบบที่ช่วงเวลาเริ่มต้นแล้ว ทางโมเดลจะคำนวณออกมาเป็นผลทำนายว่าเมื่อเวลาผ่านไปนั้น ประชากรแต่ละประเภทจะมีอัตราเพิ่ม หรือลดไปเท่าใด เพื่อที่จะได้ประเมินสถานการณ์ และออกมาตรการควบคุมได้ดียิ่งขึ้น

การกำหนดสมมติฐาน และปัจจัยเพิ่มลดของประชากรแต่ละประเภทผ่านสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary Differential Equations)

• λ(I) คืออัตราที่ประชากรกลุ่มเสี่ยง (Susceptible) กลายเป็นผู้ติดเชื้อระยะฟักตัว(Exposed) หรือสามารถเรียกได้ว่า ความรุนแรงในการแพร่ (Force of infection) โดย I จะไม่ใช่ค่าคงที่เนื่องจากขึ้นอยู่กับจำนวนผู้ติดเชื้อที่สามารถแพร่เชื้อได้ (Infectious)  ด้วย
• คือช่วงเวลาเฉลี่ยของการฟักตัวของเชื้อ
• คือช่วงเวลาเฉลี่ยนที่ผู้ป่วยจะสามารถแพร่เชื้อได้
• α คืออัตราการฟักตัวของเชื้อ หรือคืออัตราที่ประชากรกลุ่มผู้ติดเชื้อระยะฟักตัว (Exposed) กลายเป็นผู้ติดเชื้อที่สามารถแพร่เชื้อได้ (Infectious) 
• γ คืออัตราอัตราการหายจากอาการติดเชื้อ (Recovery Rate)  หรือคืออัตราที่กลุ่มผู้ติดเชื้อที่สามารถแพร่เชื้อได้ (Infectious) กลายเป็นผู้ที่หายจากการติดเชื้อแล้ว (Recovered)
• S คือจำนวนประชากรเสี่ยงที่มีโอกาศติดเชื้อได้ (Susceptible)
• E คือจำนวนประชากรที่ติดเชื้อที่อยู่ในระยะฟักตัว (Exposed)
• I คือจำนวนที่ติดเชื้อที่สามารถแพร่เชื้อได้ (Infectious)
• R คือจำนวนกลุ่มที่หายจากการติดเชื้อแล้ว และไม่มีโอกาสเป็นซ้ำ รวมถึงไม่สามารถแพร่เชื้อไปยังผู้อื่นได้ (Recovered)
• N คือประชากรในระบบทั้งหมด

และ

กลุ่มเสี่ยงที่มีโอกาศติดเชื้อได้ (Susceptible) โดยปัจจัยหลักของการที่กลุ่มเสี่ยงนั้นจะติดเชื้อ เกิดจากการที่กลุ่มเสี่ยงอยู่ใกล้ผู้ที่ติดเชื้อ ดังนั้นเมื่อมีผู้ติดเชื้อในระบบมากขึ้น รวมถึง โอกาสที่จะกลุ่มเสี่ยงจะติดเชื้อเพิ่มสูงขึ้น จะทำให้มีประชากรเปลี่ยนประเภทจากกลุ่มเสี่ยง (Susceptible) เป็น ผู้ติดเชื้อที่อยู่ในระยะฟักตัว (Exposed) มากขึ้น 

(1)

กลุ่มติดเชื้อที่อยู่ในระยะฟักตัว (Exposed) สามารถเพิ่มขึ้นในระบบจากการที่ ประชากรจากกลุ่มเสี่ยงติดเชื้อเพิ่มขึ้น และจะลดลงก็ต่อเมื่อผ่านระยะฟักตัว (Incubation period) กลายเป็นประชากรจำพวก กลุ่มที่ติดเชื้อที่สามารถแพร่เชื้อได้ (Infectious)

(2)

กลุ่มที่ติดเชื้อที่สามารถแพร่เชื้อได้ (Infectious) สามารถเพิ่มขึ้นได้ในระบบจากการที่ประชากรจากกลุ่มติดเชื้อที่อยู่ในระยะฟักตัว (Exposed) นั้นผ่านระยะการฟักตัวไปแล้ว และจะสามารถลดลงได้เมื่อผ่านระยะเวลาที่ติดเชื้อ (Infectious period) ไปแล้ว กลายเป็นประชากรกลุ่มที่รักษาจนหายแล้ว (Recovered)

(3)

กลุ่มที่หายจากการติดเชื้อแล้ว (Recovered) สามารถเพิ่มขึ้นได้ในระบบ โดยการที่มีผู้ติดเชื้อที่รักษาจนหายแล้วในระบบมากขึ้น และจะไม่ลดลงเนื่องจากผู้ที่รักษาจนหายแล้ว จะมีภูมิต้านทานโรค ทำให้ไม่สามารถเป็นซ้ำ และไม่สามารถแพร่เชื้อได้อีก

(4)

ผลลัพธ์ที่ได้จาก SEIR model

โมเดลนี้จะมีจุดเริ่มต้นจากวันที่มีเหตุการณ์ผู้ติดเชื้อคนแรกในประเทศไทย (12 มกราคม พ.ศ. 2563) โดยโมเดลนี้จะเป็นโมเดลอย่างง่าย และจะไม่มีปัจจัยการเกิด หรือการตายของประชากร รวมถึงไม่มีการเข้าออกของประชากรระหว่างประเทศ (จำนวนประชากรในระบบจะเท่าเดิมเสมอ) นอกจากนั้นจะมีการกำหนดพารามิเตอร์ต่างๆ ดังนี้

1. จำนวนประชากรทั้งหมด (N) = 67 ล้านคน (ประชากรในประเทศไทยทั้งหมด)
2. จำนวนผู้ติดเชื้อเริ่มต้น (I) = 1 คน 
3. ระยะเวลาในการฟักตัวของเชื้อเฉลี่ย () = 5.2 วัน 
4. ระยะเวลาการติดเชื้อเฉลี่ย () = 2.3 วัน
5. ระดับค่าการติดเชื้อ () = 2.006 (เลือกค่า ที่สอดคล้องกับข้อมูลผู้ป่วยไทยมากที่สุด โดยสอดคล้องกับหน่วยงานทั่วโลกที่มีค่า อยู่ที่ระหว่าง 2 – 3)

ตัวเลขอ้างอิงจาก งานวิจัยเรื่องการแพร่ระบาดของโรคโควิดในอู่ฮั่น

โดยช่วงเวลาเริ่มต้นนั้นทุกคนจะถือว่าเป็นประชากรกลุ่มเสี่ยงที่สามารถติดโรคทั้งหมดหมด โดยมีจำนวนผู้ที่สามารถแพร่เชื้อเริ่มต้นเพียงคนเดียว

สังเกตได้ว่าถ้าหากในสถานการณ์ปกติที่ไร้มาตรการการป้องกันเช่น  Social Distancing จะมีผู้ติดเชื้อที่พร้อมกันประมาณ 3 ล้านคน ในช่วงที่มีจำนวนผู้ป่วยสูงที่สุด ในช่วงเวลาประมาณ 170 วันหลังจากพบผู้ติดเชื้อคนแรก ซึ่งจะทำให้เกิดความสูญเสียเป็นวงกว้าง เนื่องจากระบบสาธรณสุขไม่สามารถรองรับผู้ป่วยจำนวนมากขนาดนี้พร้อมกันได้ ด้วยทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัด

ผลลัพธ์ที่ได้จาก SEIR model เมื่อ add social distancing factor

เมื่อเราเพิ่ม social distancing factor ลงไปใน SEIR model มันจะส่งผลให้ความรุนแรงในการแพร่ λ(I) ลดลงเนื่องจากประชากรมีการสัมผัส หรือเจอกันน้อยลงโดยเราจะแทนตัวแปรของ social distancing factor ด้วย ρ โดยจะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 – 1 โดยถ้ามีค่าเป็น 0 จะหมายถึงประชากรทุกคนมีการเก็บตัวอยู่บ้าน และมีประสิทธิภาพในการทำ social distancing สูงมาก และ 1 จะหมายถึงเคสข้างบน คือไม่มีมาตรการป้องกันใดๆ เลย โดยจะกำหนดให้ ρ มีค่า 1 ไปจนถึงข่วงเวลาปัจจุบัน (ประมาณ 80 วันนับตั้งแต่มีผู้ติดเชื้อคนแรก) เพื่อจะแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากเราเริ่มมีการทำ social distancing ตั้งแต่วันนี้ ลักษณะการเติบโตของจำนวนผู้ป่วยจะเป็นอย่างไร ซึ่งเมื่อมีตัวแปร ρ เข้ามาจะมีการแก้ไขในส่วนของความรุนแรงในการแพร่เชื้อ λ(I)

สังเกตได้ว่าเมื่อมีการลดความรุนแรงจากการแพร่ I ลงจะสามารถทำให้กราฟจำนวนผู้ป่วยนั้นเพิ่มด้วยอัตราน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด โดยถ้าทุกคนร่วมมือกัน อยู่ติดบ้าน หยุดเชื้อ เพื่อชาติ เราจะผ่านวิกฤตโรคระบาดนี้ไปได้โดยที่สูญเสียน้อยที่สุด

นอกจากนี้ไวรัสโคโรนานั้นเป็นไวรัสที่เรายังไม่เคยมีการรับมือมาก่อน ทำให้ทางเรายังขาดตัวแปรหลายๆอย่างในการจำลอง และทำนายสถานการณ์การแพร่ระบาดให้แม่นยำนั้นเป็นไปได้ยาก 

References

บทความเรื่องโมเดลการระบาดของโรคโควิดของ WHO https://triplebyte.com/blog/modeling-infectious-diseases#fn1

บทความเรื่องการทำ social distancing กับโมเดลการระบาดของโรคโควิด https://towardsdatascience.com/social-distancing-to-slow-the-coronavirus-768292f04296

งานวิจัยเรื่องการแพร่ระบาดของโรคโควิดในอู่ฮั่น https://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa2001316